2017年第八届蓝桥杯省赛-H.包子凑数

2022-03-07 · 100次阅读 · 原创 · 数据结构与算法

原题链接

题面

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放 A_i 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 N ( $1 \leq N \leq 100$ )。

以下 N 行每行包含一个整数 $A_i$ ( $1 \leq A_i \leq 100$ )。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入样例1

2
4
5

输出样例1

样例说明1

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

输入样例2

2
4
6

输出样例2

INF

样例说明2

所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

思路

DP，完全背包，最大公因数

若存在容量为 1 的蒸笼，则所有都能拼出来，则凑不出来的数量为 0 。

若仅有一种蒸笼，且容量不为 1，则肯定有无限多个不能凑出来，结果为 INF。

若有两个及其以上的种类，则只要其中任意存在两个种类的容量互质，则就能凑出无限多种，则凑不出的数量就为有限个，将两个互质的种类容量记为 a, b，则在范围 $[1, a*b-a-b]$ 内的数有可能凑不出来，而大于 $a*b-a-b$ 的数一定能凑出来（证明可参考这里传送门）。

算法步骤：

我们首先求每种蒸笼的容量的最大公因数，只要其中存在两个互质的数，这两个数的最大公因数一定为 1，则和其他数的最大公因数也一定为 1 。则若所有数的最大公因数为 1 的话，证明至少存在一对两个互质的数，则能凑出无限多个的数量，进入下一步具体计算有多少不能凑出的数量；反之，则输出结果为 INF，退出程序。
我们只需要在 $[1, a*b-a-b]$ 这个范围内使用完全背包遍历每种蒸笼，则可以知道那些能不能凑出来，最后再统计这个区间不能凑出的数量即可。由题的数据范围，每种蒸笼的容量不超过100，则完全背包的容积最大只可能为 $99*100-99-100=9701<1e4$ ，则我们不管数据大小就固定取区间最大值1000即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 105, M = 1e4;
int n, s, a[N];
bool f[M + 5];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    int g = a[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) g = __gcd(g, a[i]);
    if (g != 1) {
        puts("INF");
        exit(0);
    }

    f[0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = a[i]; j <= M; j++) {
            f[j] = f[j] | f[j - a[i]];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= M; i++) if (!f[i]) s++;
    cout << s << endl;

    return 0;
}

标题：	2017年第八届蓝桥杯省赛-H.包子凑数
链接：	https://www.fightingok.cn/detail/199
更新：	2022-09-18 22:47:35
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