AcWing-171-送礼物

2021-03-21 · 78次阅读 · 原创 · 数据结构与算法

#题解 #算法竞赛 #dfs #二分

问题

达达帮翰翰给女生送礼物，翰翰一共准备了 N 个礼物，其中第 i 个礼物的重量是 G[i]。

达达的力气很大，他一次可以搬动重量之和不超过 W 的任意多个物品。

达达希望一次搬掉尽量重的一些物品，请你告诉达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量是多少。

输入格式

第一行两个整数，分别代表 W 和 N。

以后 N 行，每行一个正整数表示 G[i]。

输出格式

仅一个整数，表示达达在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量。

数据范围

1≤N≤46,
1≤W,G[i]≤ $2^{31}$ −1

输入样例：

输出样例：

思路

暴力解法—指数型枚举

搜索每个礼物选还是不选，时间复杂度为 $O(2^N)$ ，中间可以剪枝优化。

dfs+二分+双向搜索

在此题中 $2^{45}$ ，复杂度过高，此时可以利用双向搜索的思想，把礼物拆分为两半。

首先，我们从前一半的礼物中选出若干个，可能达到 0~W 之间的所有重量值，将其存放在数组 a 中，并对 a 进行排序、去重。

然后，我们进行第二次搜索，尝试从后一半礼物中选出一些。对于每个可能达到的所有重量 t ,在第一部分的到的数组 a 中二分查找 $\le W-t$ 的数值中最大的一个，用二者的和更新答案。

此算法的时间复杂度只有 $O(2^{N/2}log2^{N/2})=O(N*2^{N/2})$ 。

摘自：《算法竞赛进阶指南》

题解

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
int n, mid, tot, g[50];
ll w, res, a[(1 << 25) + 1];

void dfs1(int k, ll sum) {
    if (k == mid) {
        a[++tot] = sum;
        return;
    }

    dfs1(k + 1, sum);   //不选
    if (sum + g[k] <= w) dfs1(k + 1, sum + g[k]);   //选
}

void calc(ll x) {
    int rest = w - x; //剩余重量
    int l = 1, r = tot;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (a[mid] <= rest) l = mid;    //在前半部分总重量中小于等于剩下重量的最大值
        else r = mid - 1;
    }
    res = max(res, a[l] + x);
}

void dfs2(int k, ll sum) {
    if (k == n + 1) {
        calc(sum);  //选择完毕，查找当前组合的最大重量，更新答案
        return;
    }

    dfs2(k + 1, sum);   //不选
    if (sum + g[k] <= w) dfs2(k + 1, sum + g[k]);   //选
}

int main() {
    cin >> w >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> g[i + 1];
    sort(g + 1, g + n + 1, [=](ll a, ll b) {
        return a > b;
    });

    mid = n / 2 + 3;    //一半多两个为最好

    //递归求解：前半部分选择的物品组合对应的总重量数组 a
    dfs1(1, 0);
    sort(a + 1, a + tot + 1);
    tot = unique(a + 1, a + tot + 1) - (a + 1);

    dfs2(mid, 0);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

标题：	AcWing-171-送礼物
链接：	https://www.fightingok.cn/detail/74
更新：	2022-09-18 22:36:41
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