AcWing-105-七夕祭

问题

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。

于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。

Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。

TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。

矩形的祭典会场由N排M列共计N×M个摊点组成。

虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。

Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。

不过zhq告诉Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足cl的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。

两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。

由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。

现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。

在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数N和M和T，T表示cl对多少个摊点感兴趣。

接下来T行，每行两个整数x, y，表示cl对处在第x行第y列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。

如果能满足Vani的全部两个要求，输出both；

如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，输出row；

如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多，输出column；

如果均不能满足，输出impossible。

如果输出的字符串不是impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

数据范围

1≤N,M≤100000,
0≤T≤min(N∗M,100000),
1≤x≤N,
1≤y≤M

输入样例：

2 3 4
1 3
2 1
2 2
2 3

输出样例：

row 1

思路

由题可知：对左右两个摊点的交换，只会改变两列的感兴趣的摊点数量；而对上下两个摊点的交换，也只会改变每两行的感兴趣摊点数量。则可以将本问题分为行满足和列满足两个子问题进行讨论：

1. 通过最少次数的上下交换使每行中感兴趣的摊点数量一样
2. 通过最少次数的左右交换使每列中感兴趣的摊点数量一样

而对于第一个问题，可以统计好每行的感兴趣摊点数量 row[i] ，则即为将 row[1]–row[M] 都置为 T/M （每次可将 row[i] 中的一个摊点移动到 row[(i+1)%(M+1)+1] 或者 row[(i-1+M)%(M+1)+1]）所需要的最少步数，类似于 纸牌均分 问题，可参照其思路，解出问题。

但需要注意，纸牌均分问题第一个元素和最后一个元素不为连通，而本题为连通的，则肯定能找到一个点 k，使得环状数组row在k后断开，断开的刚好能够符合纸牌均分问题的不连通性，则关键是找到 k 的坐标。其断开后的前缀和如下：

注意：上表中S[M]=0，S 是 row 减去T/M后的前缀和，则最终结果 S[M] = 0 。

则结果为：

$ans = \min_{1\le k \le M}\{\sum_{i=1}^{M}(S[i]-S[k])\}$

则看到上式，可以知道此公式对应 货仓选址 问题，即将 S 排序后 k 取中位数下标时，可得到 ans 。

题解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
int n, m, t;
int col[N], row[N];
int s[N];

int main() {
    cin >> n >> m >> t;
    bool st1 = false, st2 = false;
    long long res1, res2;
    int x, y;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < t; ++i) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        row[x]++;
        col[y]++;
        cnt++;
    }

    if (cnt % n == 0) {     //总数可否被行数整除
        st1 = true;
        int avg = cnt / n;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = s[i - 1] + row[i] - avg;
        sort(s + 1, s + n + 1);
        int mid = s[n / 2 + 1];

        res1 = 0;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) res1 += abs(s[j] - mid);
    }


    if (cnt % m == 0) {     //总数可否被列数整除
        st2 = true;
        int avg = cnt / m;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) s[i] = s[i - 1] + col[i] - avg;
        sort(s + 1, s + m + 1);
        int mid = s[m / 2 + 1];

        res2 = 0;
        for (int j = 1; j <= m; ++j) res2 += abs(s[j] - mid);
    }

    if (st1 && st2)cout << "both " << res1 + res2 << endl;
    else if (st1) cout << "row " << res1 << endl;
    else if (st2) cout << "column " << res2 << endl;
    else cout << "impossible" << endl;

    return 0;
}