2013年第四届蓝桥杯省赛-D. 黄金连分数

原题链接

题面

黄金分割数 0.61803… 是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。

对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一个庞然大物，其实只是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”!!

言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。

比较简单的一种是用连分数：

                  1
    黄金数 = ---------------------
                        1
             1 + -----------------
                          1
                 1 + -------------
                            1
                     1 + ---------
                          1 + ...

这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。

请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后 100 位。

小数点后3位的值为：0.618；

小数点后4位的值为：0.6180；

小数点后5位的值为：0.61803；

小数点后7位的值为：0.6180340。 （注意尾部的 0，不能忽略）

你的任务是：写出精确到小数点后 100 位精度的黄金分割值。

注意：尾数的四舍五入！ 尾数是 0 也要保留！

题解

大数运算，模拟

此题为填空题，而C/C++对大数运算没有相关的库可以使用，不太友好，可以使用Java和Python进行处理。

看题可以注意到，此为两个相邻的斐波那契数相除的结果：1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21,…一直递推下去（相当于取极限），当到达某项时，精度就符合要求了（经过测算，满足100位小数的精度大概为第239项），可以手动模拟除法，将除法运算转变为减法和乘法运算即可。

答案：

0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911375

代码

• C++

//注：对于此题中的数，将其每一位倒序存放在vector容器中
//  如：128这个数字，在vector中就为{8, 2, 1}

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

// a + b
vector<int> add(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    vector<int> t;
    int m = a.size(), n = b.size();
    int i = 0, c = 0;	//c为进位
    while (i < m || i < n) {
        if (i < m) c += a[i];
        if (i < n) c += b[i];
        t.push_back(c % 10);
        c /= 10;
        i++;
    }

    while (c) {
        t.push_back(c % 10);
        c /= 10;
    }
    return t;
}

// a - b
vector<int> sub(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    vector<int> t;
    int m = a.size(), n = b.size();
    int i = 0, c = 0;	//c为借位
    while (i < m || i < n) {
        if (i < m) c += a[i];
        if (i < n) c -= b[i];
        t.push_back((c + 10) % 10);
        c = c < 0 ? -1 : 0;
        i++;
    }
    while (t.size() > 1 && t.back() == 0) t.pop_back();
    return t;
}

//  a >= b ?
bool cmp(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    int m = a.size(), n = b.size();
    if (m != n) return m > n;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        if (a[i] != b[i]) return a[i] > b[i];
    }
    return true;    //相等
}

// a * 10
vector<int> mul10(vector<int> &a, int c) {
    vector<int> t;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) t.push_back(a[i]);
    for (int i = 0; i < c; i++) t.push_back(0);
    reverse(t.begin(), t.end());
    return t;
}

// a / b
vector<int> divide(vector<int> &a, vector<int> &b) {
    vector<int> t;
    int z = 0;  //前导0的个数
    int m = a.size(), n = b.size();
    if (m < n) {
        a = mul10(a, n - m);
        z = n - m;
    }
    if (!cmp(a, b)) {
        a = mul10(a, 1);
        z++;
    }

    for (int i = 0; i < 102; i++) {
        if (!cmp(a, b)) {
            a = mul10(a, 1);
            t.push_back(0);
            continue;
        }
        int c = 0;
        do {
            a = sub(a, b);
            c++;
        } while (cmp(a, b));
        t.push_back(c);
        if (a.size() == 1 && a.back() == 0) break;  //被整除了
        a = mul10(a, 1);
    }

    reverse(t.begin(), t.end());
    for (int i = 0; i < z; i++) t.push_back(0);
    return t;
}

int main() {
    vector<int> a = {1};
    vector<int> b = {2};

    for (int i = 1; i <= 300; i++) {	//递推两个相邻的斐波那契数
        vector<int> t = add(a, b);
        a = b;
        b = t;
    }

    vector<int> t = divide(a, b);
//    cout << t.size() << endl;
    bool st = false;    //是否有前导0的标志，若有前导0，则为一个小于1的小数
    if (t.back() == 0 && t.size() > 1) st = true;
    for (int i = t.size() - 1;; i--) {
        if (i == 2) {   //因为计算到了小数点后102位，则最后两位需四舍五入
            if (t[i - 1] >= 5) t[i]++;
            printf("%d", t[i]);
            break;
        }
        printf("%d", t[i]);
        if (st && i == t.size() - 1) printf(".");
    }
    puts("");

    return 0;
}

• Java

import java.math.BigDecimal;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {

        BigDecimal a = new BigDecimal(1);
        BigDecimal b = new BigDecimal(2);
        for (int i = 0; i < 1000; i++) {
            BigDecimal t = a.add(b);
            a = b;
            b = t;
        }

        // System.out.println(a + "  " + b);
        //四舍五入保留100位小数
        BigDecimal res = a.divide(b, 100, BigDecimal.ROUND_HALF_UP);
        System.out.println(res);
    }
}

• Python

import os
import sys
import decimal

decimal.getcontext().prec = 101 # 设置有效数字位数
ans = decimal.Decimal(1)
for i in range(1000):
    ans = decimal.Decimal(1 / (1 + ans))
print(round(ans, 100))	# round取四舍五入，保留100位小数